नीचे वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) अध्याय से १०० MCQ + उनके उत्तर एवं हल (Hindi Medium) प्रस्तुत करना बहुत लंबा हो जाएगा, इसलिए मैं शुरुआत में 20 महत्वपूर्ण MCQ + उत्तर और हर एक का हल समझाऊँगा। यदि चाहो तो मैं बाद में पूरी 100 MCQ का PDF या अतिरिक्त सेट भेज सकता हूँ।
नीचे 100 MCQ “वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)” — हिंदी माध्यम — उत्तर सहित एवं हल के मुख्य विचार:
100 MCQ — Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
ध्यान दें: हल बहुत संक्षिप्त है — अगर किसी प्रश्न का विस्तृत समाधान चाहिए तो बताइए, मैं भेज दूँगा।
प्रश्न: दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल विभाज्य है
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
उत्तर: 2
प्रश्न: तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल विभाज्य है
a) 6
b) 7
c) इनमें से कोई नहीं
d) 5
उत्तर: 6
प्रश्न: n2 -1, 8 से विभाज्य है, यदि n है
a) एक विषम पूर्णांक
b) एक सम पूर्णांक
c) एक प्राकृत संख्या
d) एक पूर्णांक
उत्तर: एक विषम पूर्णांक
प्रश्न: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका कहती है कि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं कि a = bq + r, जहाँ r को संतुष्ट करना होगा
a) 0 ≤ r < b
b) 0 < r < b
c) 1< r < b
d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: 0 ≤ r < b
प्रश्न: परिमेय संख्या 47/2352 का दशमलव प्रसार निम्नलिखित पर समाप्त होगा
a) तीन दशमलव स्थानों पर
b) एक दशमलव स्थान पर
c) दो दशमलव स्थानों पर
d) तीन दशमलव स्थानों से अधिक पर
उत्तर: तीन दशमलव स्थानों पर
प्रश्न: √7 है
a) एक अपरिमेय संख्या
b) इनमें से कोई नहीं
c) एक पूर्णांक
d) परिमेय संख्या
उत्तर: एक अपरिमेय संख्या
प्रश्न: परिमेय संख्या 33/225 का दशमलव प्रसार निम्नलिखित पर समाप्त होगा
a) दो दशमलव स्थानों पर
b) तीन दशमलव स्थानों से अधिक पर
c) एक दशमलव स्थान पर
d) तीन दशमलव स्थानों पर
उत्तर: दो दशमलव स्थानों पर
प्रश्न: वह सबसे बड़ी संख्या जो 70, 80, 105, 160 को पूर्णतः विभाजित करती है, वह है
a) 5
b) इनमें से कोई नहीं
c) 7
d) 10
उत्तर: 5
प्रश्न: पहली पाँच सम संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या है:
a) 120
b) 160
c) 80
d) 60
उत्तर: 120
प्रश्न: (x3 -3x +2) और (x2 - 4x +3) का HCF है:
a) (x -1)
b) (x -1)(x -3)
c) (x -1)(x +2)
d) (x -2)3
उत्तर: (x -1)
प्रश्न: x2 - 4 और x4 -16 का LCM है:
a) (x2 + 4)(x2 - 4)
b) (x2 - 4) (x +2)
c) (x -2)(x +2)
d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (x2 + 4)(x2 - 4)
प्रश्न. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म किस पर लागू किया जा सकता है:
(A) केवल धनात्मक पूर्णांकों पर
(B) केवल ऋणात्मक पूर्णांकों पर
(C) सभी पूर्णांकों पर
(D) 0 को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर
उत्तर: A
प्रश्न. यदि 65 और 117 का HCF 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो m का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर: B
प्रश्न: 1 से 10 तक (दोनों सहित) सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या है:
(A) 10
(B) 100
(C) 504
(D) 2520
उत्तर: D
प्रश्न: 3.24636363... है:
(A) एक सांत दशमलव संख्या
(B) एक असांत आवर्ती दशमलव संख्या
(C) एक परिमेय संख्या
(D) (B) और (C) दोनों
उत्तर: D
प्रश्न: परिमेय संख्या 47/22 .52 . का दशमलव प्रसार निम्नलिखित पर समाप्त होगा:
(A) एक दशमलव स्थान
(B) तीन दशमलव स्थान
(C) दो दशमलव स्थान
(D) 3 से अधिक दशमलव स्थान
उत्तर: C
प्रश्न. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका कहती है कि यदि a और b कोई दो +ve पूर्णांक हैं, तो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं कि:
(A) a = bq + r, 0 < r < b
(B) a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b
(C) a = bq + r, 0 ≤ r < b
(D) a = bq + r, 0 < b < r
(A) 30
(B) 150
(C) 100
(D) 50
उत्तर: C
77.प्रश्न: निम्नलिखित में से किस संख्या का सांत दशमलव प्रसार है?
(A) 37/45
(B) 21/2356
(C) 17/49
(D) 89/2232
उत्तर: B
प्रश्न: 5005 के अभाज्य गुणनखंडन में कितने अभाज्य गुणनखंड हैं?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 7
उत्तर: B
प्रश्न. यदि a, b सहअभाज्य हैं, तो a2, b2 हैं:
(A) सहअभाज्य
(B) सहअभाज्य नहीं
(C) विषम संख्याएँ
(D) सम संख्याएँ
उत्तर: A
प्रश्न: 7×11×13×6 है:
a) एक अभाज्य संख्या
b) एक भाज्य संख्या
c) एक सम संख्या
d) कोई नहीं
उत्तर: B
प्रश्न: यदि pn=(a×5)n, तो pn के अंक शून्य पर समाप्त होने के लिए a= _______ किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए:
a) कोई भी प्राकृत संख्या
b) एक विषम संख्या
c) कोई भी सम संख्या
d) कोई नहीं
उत्तर: C
प्रश्न: HCF हमेशा होता है:
a) LCM का गुणज
b) LCM का गुणनखंड
c) LCM से विभाज्य
d) विकल्प a और c दोनों
उत्तर: B
.प्रश्न: में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका जहाँ a = bq + r और a, b धनात्मक पूर्णांक हैं, कौन सा सही है:
a) 0 < r ≤ b
b) 0 ≤ r < b
c) 0 < r < b
d) 0 ≤ r ≤ b
उत्तर: B
84.प्रश्न
-
दो धनात्मक पूर्णांक (A = x y^3) और (B = x^4 y^2 z) (जहाँ (x, y) मुख्य रूप से अभाज्य) हैं, तो (\gcd(A, B)) = ?
A. (x y^2)
B. (x^4 y^2 z)
C. (x^4 y^3)
D. (x^4 y^3 z)
उत्तर: A
विचार: प्रत्येक प्राइम का न्यूनतम exponent लें → (x^{\min(1,4)} y^{\min(3,2)} = x y^2). -
60 और 75 को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या जो क्रमशः शेष 8 व 10 देती है, वह है?
A. 260
B. 75
C. 65
D. 13
उत्तर: D
विचार: यदि (d) वह संख्या है, तो (d\mid (60-8)=52) और (d\mid (75-10)=65). तो (d = \gcd(52,65)=13). -
1 से 5 तक सभी संख्याओं का LCM है?
A. 5
B. 60
C. 20
D. 100
उत्तर: B
विचार: LCM(1,2,3,4,5) = 60। -
1 से 8 तक सभी संख्याओं का LCM है?
A. 840
B. 2520
C. 8
D. 420
उत्तर: A
विचार: LCM(1..8) = 840। -
निम्न में से कौन सी संख्या अपरिमेय है?
A. (\sqrt{2})
B. 1.25
C. (\frac{5}{6})
D. 0.2 (समाप्त)
उत्तर: A
विचार: (\sqrt{2}) को भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। -
(\sqrt{5}) अपरिमेय होने का सामान्य प्रमाण क्या है?
A. मान लें, परिमेय है → विरोधाभास
B. दशमलव प्रतिनिधित्व से
C. 5 का गुणनखंड न होना
D. उपरोक्त सभी
उत्तर: A
विचार: मान लें (\sqrt{5} = p/q), दोनों ओर वर्ग कराएँ → विरोधाभास। -
निम्न में से कौन सी संख्या परिमेय है?
A. (\pi)
B. (\sqrt{3})
C. (\frac{7}{8})
D. (e)
उत्तर: C
विचार: (\frac{7}{8}) भिन्न है → परिमेय। -
यदि किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत (terminate) है, तो उसके हर अभाज्य गुणनखंड क्या होंगे?
A. (2^m \cdot 5^n)
B. अन्य कोई प्राइम
C. 3 या 7
D. 2 और 3
उत्तर: A
विचार: शांत दशमलव तभी संभव जब denominator के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। -
(\frac{29}{45}) का दशमलव प्रसार क्या प्रकार का होगा?
A. शांत
B. आवर्ती (Recurring)
C. मिश्रित
D. अपरिमेय
उत्तर: B
विचार: 45 = (3^2 \cdot 5). इसमें 3 है → दशमलव आवर्ती होगी। -
यदि (x = 0.272727\ldots) (दो अंकों का पुनरावर्ती), तो (x =) ?
A. (\frac{27}{99})
B. (\frac{3}{11})
C. (\frac{27}{100})
D. (\frac{27}{90})
उत्तर: B
विचार: (x = 0.27 + 0.0027 + \dots = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}). -
408 और 1032 का HCF यदि (1032 \times 2 + 408 \times p) के रूप में लिखा जाए, तो (p) = ?
A. (-5)
B. …
उत्तर: (-5)
विचार: Extended Euclid algorithm देता है यह रूप। -
दो पूर्णांकों का गुणनफल 16900 है एवं उनका HCF = 5। यदि एक संख्या 85 हो, तो दूसरी संख्या क्या है?
A. 200
B. 100
C. 195
D. अन्य
उत्तर: A
विचार: (a \times b = HCF \times LCM). LCM = 16900/5 = 3380। दूसरा संख्या = 3380*5/85 = 200। -
यदि (\gcd(a,b) = 27), LCM = 162, तथा (a = 54), तो (b = ?)
A. 81
B. 162
C. 90
D. 108
उत्तर: A
विचार: (a \cdot b = HCF \cdot LCM). (54 b = 27 × 162) → (b=81). -
(\gcd(2^3 \cdot 3 \cdot 5,; 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7)) = ?
A. (2^2 \cdot 3 \cdot 5)
B. (2^3 \cdot 3 \cdot 5)
C. (2^2 \cdot 3^3 \cdot 5)
D. (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2)
उत्तर: A
विचार: न्यूनतम exponents लें: 2→2, 3→1, 5→1। -
यदि (a = 2^4 \cdot 3^2), (b = 2^2 \cdot 3^5), तो (\mathrm{LCM}(a,b) =) ?
A. (2^4 \cdot 3^5)
B. (2^2 \cdot 3^5)
C. (2^4 \cdot 3^2)
D. (2^4 \cdot 3^3)
उत्तर: A
विचार: अधिकतम exponents लें: 2→4, 3→5। -
यदि (x) परिमेय है, तो उसे कैसे लिखा जा सकता है?
A. (\frac{p}{q}), (p, q) पूर्णांक
B. केवल integer
C. √ irrational
D. नहीं लिखा जा सकता
उत्तर: A
विचार: यह परिभाषा है। -
(\sqrt{3} + \sqrt{2}) अपरिमेय या परिमेय?
A. अपरिमेय
B. परिमेय
C. integer
D. irrational नहीं
उत्तर: A
विचार: योग भी अपरिमेय होगा (सिद्ध किया जा सकता)। -
यदि किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार “असांत आवर्ती” है, तो denominator में क्या गुणनखंड होंगे?
A. 2, 5, अन्य प्राइम संभव
B. केवल 2
C. केवल 5
D. अमर्यादित
उत्तर: A
विचार: अगर अन्य प्राइम शामिल हों तो दशमलव आवर्ती होगा। -
यदि (\gcd(a,b) = d), और (a' = a/d, b' = b/d), तो (\gcd(a', b') = ?)
A. 1
B. (d)
C. बढ़ जाता है
D. 0
उत्तर: A
विचार: विभाजित करने से वे सह-अभाज्य हो जाते हैं। -
(\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}) — क्या यह संबंध सत्य है?
A. सत्य
B. मिथ्या
C. केवल विशिष्ट
D. यादृच्छिक
उत्तर: A
विचार: प्रसिद्ध सूत्र। -
यदि (a) और (b) दो परिमेय संख्याएँ हैं, तो (a + b) …
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी परिमेय, कभी अपरिमेय
D. नहीं बताया जा सकता
उत्तर: A
विचार: परिमेय + परिमेय = परिमेय। -
यदि (r) एक अपरिमेय संख्या हो, और (q) परिमेय हो, तो (r + q) …
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी-कभी दोनों
D. नहीं बताया जा सकता
उत्तर: B
विचार: परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय। -
यदि (r) अपरिमेय और (q) परिमेय हो, (r \times q) क्या है?
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी परिमेय / कभी अपरिमेय
D. नहीं बताया जा सकता
उत्तर: B
विचार: अपरिमेय × परिमेय = अपरिमेय (जब (q≠0))। -
यदि दो अलग अपरिमेय संख्याएँ (r_1, r_2) हों, तो उनका गुणन क्या हो सकता है?
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी परिमेय, कभी अपरिमेय
D. नहीं बताया जा सकता
उत्तर: C
विचार: उदाहरण: (\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2) (परिमेय), पर (\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}) (अपरिमेय)। -
यदि (\frac{p}{q}) परिमेय संख्या है और (q) में कोई अन्य प्राइम मौजूद है (2 या 5 के अलावा), तो दशमलव प्रसार क्या होगा?
A. आवर्ती
B. शांत
C. मिश्रित
D. अपरिमेय
उत्तर: A
विचार: presence of other prime → repeating decimal। -
यदि (\frac{p}{q}) का दशमलव 3 दशमलव स्थानों पर समाप्त हो, तो (q) में कितने 2 और 5 का गुणनखंड हो सकते हैं?
A. अधिकतम 3
B. ≤3
C. कोई सीमित नहीं
D. ≥3
उत्तर: B
विचार: (q) = (2^a5^b), जहाँ ( \max(a,b) ≤ 3)。 -
यदि (a, b) दो पूर्णांक हों और (a > b), Euclid’s Division Lemma कहता है: (a = bq + r), जहाँ (0 ≤ r < b). यह नियम किनके लिए लागू?
A. सभी integer (a, b)
B. केवल धनात्मक integers
C. केवल परिमेय
D. केवल अपरिमेय
उत्तर: B
विचार: सामान्यत: समान sign वाले धनात्मक integers पर लागू। -
निम्न में से कौन-सा नियम = Fundamental Theorem of Arithmetic?
A. प्रत्येक सं >1 का एकल अभाज्य गुणनकरण
B. LCM × HCF = a × b
C. Euclid’s Division
D. कोई नहीं
उत्तर: A
विचार: हर संख्या एक विशेष अभाज्य गुणनखंड रूप में लिखी जा सकती है। -
यदि एक संख्या (n) के prime factorization में कोई प्राइम (p) होता है तो वह (\sqrt{n}) में कैसे प्रकट होगा?
A. fractional exponent
B. integer exponent
C. नहीं प्रकट होगा
D. unknown
उत्तर: A
विचार: यदि (n = p^k), (\sqrt{n} = p^{k/2})। -
यदि (n = p^2 q^4) (primes p,q), तो (\sqrt{n} = p^{1} q^{2})?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A
विचार: क्योंकि sqrt का exponent धरा गया exponent ÷ 2। -
यदि (n) एक पूर्ण वर्ग हो, तो उसकी prime factorization के exponents क्या होंगे?
A. सभी even
B. सभी odd
C. मिश्रित
D. कोई नहीं
उत्तर: A
विचार: पूर्ण वर्ग में प्रत्येक प्राइम का exponent even होगा। -
यदि एक संख्या (n) prime factorization (2^a 3^b 5^c 7^d \dots), तो number of divisors = ?
A. ((a+1)(b+1)(c+1)(d+1))
B. (a b c d)
C. (\min(a,b,c,d))
D. कोई नहीं
उत्तर: A
विचार: divisor count formula। -
यदि (\gcd(a,b) = d), तो (\gcd\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)) = ?
A. 1
B. (d)
C. >1
D. none
उत्तर: A
विचार: division से सह-अभाज्य बन जाते हैं। -
यदि (\gcd(a,b)=1), तो (\mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A
विचार: जब वे सह-अभाज्य हों। -
यदि (a, b) सह-अभाज्य (gcd=1) और (a \mid n), (b \mid n), तो (ab \mid n) ?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A
विचार: यदि वे साझा गुणनखंड न साझा करें। -
यदि (a = p^k), (b = p^m), (same prime), तो (\gcd(a,b) = p^{\min(k,m)}) और (\mathrm{LCM}(a,b) = p^{\max(k,m)}). यह सही या गलत?
A. सही
B. गलत
उत्तर: A
विचार: exponent नियम। -
यदि (a, b) दो संख्याएँ हों और (a\mid b), तो (\gcd(a,b)=a) और (\mathrm{LCM}(a,b)=b)?
A. सही
B. गलत
उत्तर: A
विचार: यदि एक संख्या दूसरी को विभाजित करती है। -
यदि (\frac{p}{q}) एक भिन्न हो और (q) में अन्य प्रमेय प्राइम (2 या 5 से अलग) हो, तो दशमलव प्रसार …
A. आवर्ती
B. शांत
C. मिश्रित
D. अपरिमेय
उत्तर: A
विचार: पहले जैसा (प्रश्न 25 जैसा)। -
यदि (\frac{p}{q}) दशमलव में 4 दशमलव स्थानों पर समाप्त हो, तो (q) का रूप हो सकता है?
A. (2^4 5^3)
B. (2^2 5^5)
C. (2^4 5^4)
D. अन्य
उत्तर: C
विचार: अधिकतम exponents ≤ 4। -
(\frac{1}{2}) का दशमलव रूप?
A. 0.5000
B. 0.5
C. 0.4999…
D. अविशिष्ट
उत्तर: B
विचार: बुनियादी विभाजन। -
(\frac{1}{4}) का दशमलव रूप?
A. 0.25
B. 0.2500
C. 0.24…
D. नहीं ज्ञात
उत्तर: A -
(\frac{3}{8} =) दशमलव?
A. 0.375
B. 0.387
C. 0.38
D. 0.378
उत्तर: A -
(\frac{7}{20}) दशमलव?
A. 0.35
B. 0.350
C. 0.345
D. 0.355
उत्तर: A -
(\frac{9}{40}) दशमलव?
A. 0.225
B. 0.2250
C. 0.2225
D. 0.2255
उत्तर: A -
(\frac{13}{125}) दशमलव?
A. 0.104
B. 0.1040
C. 0.0104
D. 0.10400
उत्तर: B -
(\frac{11}{50} =) ?
A. 0.22
B. 0.2
C. 0.22…
D. 0.2200
उत्तर: A -
(\frac{7}{32} =) दशमलव क्या होगा?
A. 0.21875
B. 0.2187
C. 0.218
D. 0.21850
उत्तर: A -
कौन-सी संख्या irrational नहीं है?
A. ((2 - \sqrt{3})^2)
B. ((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2)
C. ((\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}))
D. (\frac{2\sqrt{7}}{7})
उत्तर: C
विचार: ((\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 2 - 3 = -1) (परिमेय)। -
यदि एक irrational संख्या (r), तो (r^2) …
A. हर बार irrational
B. कभी rational
C. कभी irrational
D. नहीं कहा जा सकता
उत्तर: B (उदाहरण: (\sqrt{2}^2 = 2))। -
यदि (r) irrational और (q) irrational, तो (r + q) …
A. हमेशा irrational
B. कभी rational
C. कभी irrational
D. कभी भी
उत्तर: B (उदाहरण: ( \sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}) = 1))। -
यदि (a = p/q) परिमेय और (b = r/s) परिमेय हों, तो (\gcd(a, b)) को कैसे परिभाषित करते हैं?
A. (\frac{\gcd(p, r)}{\mathrm{lcm}(q, s)})
B. (\frac{\gcd(p, r)}{\gcd(q, s)})
C. (\frac{\gcd(p, r)}{q s})
D. नहीं परिभाषित
उत्तर: A -
यदि (\frac{p}{q}) परिमेय हो और उसके decimal expansion लंबी हो (असांत), तो denominator (q) में कौन-से प्राइम होंगे?
A. कोई अन्य प्राइम भी हो सकते
B. केवल 2,5
C. केवल 3
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
यदि (\gcd(a,b)=d), तो (\gcd(ka, kb) = k d) कहाँ (k) integer हो?
A. सही
B. गलत
उत्तर: A
विचार: गुणन करने से gcd भी उसी से गुणा हो जाता है। -
यदि (\gcd(a,b) = 1), तो (\gcd(a, b + a k) = 1)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A
विचार: gcd properties। -
यदि (a, b) दोनों पूर्णांक, और (a\mid b), तो (\mathrm{LCM}(a,b)=b)?
A. सही
B. गलत
उत्तर: A -
यदि (a, b, c) तीन संख्याएँ हों, तो (\gcd(a,b,c) = \gcd(\gcd(a,b), c))?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a, b, c) तीन संख्याएँ हों, (\mathrm{LCM}(a,b,c) = \mathrm{LCM}(\mathrm{LCM}(a,b), c))?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (\gcd(a,b) = d), तो (\mathrm{LCM}(a, b) = \frac{a b}{d}) — सामान्य सूत्र?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (m) एक integer हो, तो (m^2) हमेशा किस प्रकार हो सकता है?
A. (3k), (3k+1)
B. (3k+2)
C. (3k + 3)
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
(n^3) किसी integer (n) के लिए किस रूप की हो सकती है?
A. (9k, 9k+1, 9k+8)
B. (9k-1, 9k, 9k+1)
C. (9k, 9k+2, 9k+5)
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों (consecutive) का गुणन हमेशा किससे विभाज्य होगा?
A. 6
B. 4
C. 8
D. 9
उत्तर: A -
किसी composite संख्या को कैसे लिखा जा सकता है?
A. prime numbers के powers के रूप में
B. composite numbers
C. odd numbers
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
(\frac{129}{2^2 \Cdot 5^7 \cdot 7^5}) का decimal स्वरूप?
A. समाप्त
B. अनंत
C. अनंत–नॉन रिपीटिंग
D. कोई नहीं
उत्तर: C
विचार: denominator में 7 भी है → repeating non-terminating। -
(\gcd(8,9,25)) = ?
A. 8
B. 9
C. 25
D. 1
उत्तर: D = 1 -
निम्न में से कौन irrational नहीं है?
A. ((2 – \sqrt{3})^2)
B. ((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2)
C. ((\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}))
D. (\frac{2\sqrt{7}}{7})
उत्तर: C
विचार: जैसा प्रश्न ऊपर (प्रश्न 48) -
परिमेय × अपरिमेय = ?
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी भी
D. नहीं कहा जा सकता
उत्तर: B -
परिमेय + अपरिमेय = ?
A. परिमेय
B. अपरिमेय
C. कभी भी
D. नहीं कहा जा सकता
उत्तर: B -
दो अपरिमेयों का योग हमेशा अपरिमेय?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: B (उदाहरण: (\sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}) = 1)) -
यदि (\gcd(a,b)=1), तो (\gcd(a^2, b^3) = 1)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (\gcd(a, b) = d), तो (\frac{a}{d}) और (\frac{b}{d}) सह-अभाज्य होंगे?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a\mid b) और (b\mid c), तो (a \mid c)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a\mid b) और (a\mid c), तो (a \mid (b + c))?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a\mid b) और (a\mid c), तो (a \mid (b - c))?
A. हाँ
B. नहीं
Answer: A -
यदि (a\mid b) और (c\mid d), तब (\gcd(a c, b d)) क्या हो सकती है?
A. (a c)
B. (\gcd(a, b) \cdot \gcd(c, d))
C. (\gcd(a, d))
D. कोई नहीं
उत्तर: B -
यदि (p, q) पृथक primes हों, तो (\gcd(p^a, q^b) = ?)
A. 1
B. p
C. q
D. (p^a q^b)
उत्तर: A -
यदि (a, b) दो पूर्णांक हों और (\gcd(a, b) = d), तो (\gcd(a + b, a - b)) = ?
A. 1 या 2d
B. d
C. 2d
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
यदि (a) और (b) दोनों odd हों, तो (\gcd(a + b, a - b)) क्या हो सकती है?
A. 2
B. 1
C. 4
D. कोई नहीं
उत्तर: 2 -
यदि (a, b) दोनों even हों, तो (\gcd(a + b, a - b)) क्या?
A. even
B. odd
C. 1
D. नहीं कहा जा सकता
उत्तर: even -
यदि (a) odd और (b) even हों, (\gcd(a + b, a - b)) क्या होगा?
A. odd
B. even
C. 1
D. 2
उत्तर: odd -
(\gcd(a, b)) और (\mathrm{LCM}(a, b)) दोनों क्या हो सकते हैं?
A. 1 और (a b) (जब gcd =1)
B. a और b (जब एक divisor)
C. बची कोई
D. कोई नहीं
उत्तर: A & B (depending on relation) -
यदि (\gcd(a,b) = d), (\mathrm{LCM}(a,b) = m), तो (a + b ≥ d + m)?
A. सत्य
B. मिथ्या
उत्तर: मिथ्या (counterexample) -
यदि (\gcd(a,b) = d), तो (\gcd\left(\frac{a}{d}, b\right) = 1)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: B (उदाहरण, a=6, b=9, d=3, a/d=2, (\gcd(2,9)=1) — हाँ। लेकिन यदि b में अन्य factors हों, careful) -
यदि (p) एक अभाज्य है और (p\mid a b), तो (p\mid a) या (p\mid b)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A (Fundamental theorem) -
यदि (p) prime और (p\mid a^2), तो (p\mid a)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (p) prime और (p\mid a b), तो p divides one of them। (Prime divisor rule)
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a) irrational, तो (a^2) always irrational?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: B (उदाहरण: (\sqrt{2}^2 =2)) -
यदि (\sqrt{m/n}) (in lowest terms) मूल irrational है, तो m, n में क्या हो सकते हैं?
A. No perfect square factors
B. किसी की square factor हो
C. दोनों squares
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
यदि (\sqrt{p}) irrational और (p) prime, तो (\sqrt{p^k}) क्या होगा?
A. irrational (अगर k odd)
B. rational (यदि k even)
C. irrational (यदि k not divisible by 2)
D. दोनों
उत्तर: B & C (depending on k) -
यदि (\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b})?
A. हाँ यदि (a, b ≥ 0)
B. हमेशा
C. नहीं
D. कभी
उत्तर: A -
यदि (\sqrt{a^2 + b^2} = a + b), तो क्या हो सकता है?
A. a or b zero
B. a, b positive
C. कोई नहीं
D. both zero
उत्तर: A -
यदि (\sqrt{a^2 - b^2} = a - b), तो?
A. a ≥ b ≥ 0
B. a ≤ b
C. कोई नहीं
D. उपरोक्त दोनों
उत्तर: A -
यदि (a, b) दोनों non-negative हों, (\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a + b})?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (a, b) non-negative, क्या (\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b})?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}), तब क्या संभव है?
A. एक ही non-zero हो
B. दोनों zero
C. दोनों positive
D. कोई नहीं
उत्तर: A या B -
कौन-सा कथन सत्य है?
A. हर परिमेय संख्या decimal में समाप्त या आवर्ती होती है
B. हर संख्या decimal में समाप्त होती है
C. हर संख्या आवर्ती होती है
D. कोई नहीं
उत्तर: A -
कौन-सा कथन गलत है?
A. irrational + irrational = always irrational
B. irrational × irrational = sometimes rational
C. rational + rational = rational
D. rational × rational = rational
उत्तर: A (यह हमेशा नहीं हो) -
यदि denominator में primes केवल 2 एवं 5 हों, decimal expansion क्या होगा?
A. समाप्त
B. आवर्ती
C. अनंत न दोहराई
D. irrational
उत्तर: A -
यदि denominator में कोई prime अन्य हो, decimal expansion …
A. आवर्ती
B. समाप्त
C. irrational
D. किसी भी प्रकार
उत्तर: A -
यदि (a, b) positive integers हों, (a \mid b), तो (\mathrm{LCM}(a, b) = b)?
A. हाँ
B. नहीं
उत्तर: A -
यदि (\gcd(a,b) = d) और (a \cdot b = 2000), (d = 10), तो (\mathrm{LCM}(a,b) = ?)
A. 200
B. 2000/10 = 200
C. 300
D. 150
उत्तर: B = 200
विचार: (a \cdot b = d \cdot \mathrm{LCM}) → LCM = 2000/10 = 200.